Exercice 10, § 2

a) Soit $M$ un module $\pi$-primaire sans éléments $\neq 0$ de hauteur infinie et soit $N$ un sous-module pur de $M$ engendré par une famille pseudolibre maximale d’éléments de $M$ (exerc. 4 et 7, $b$). Montrer que $M/N$ est un module divisible (raisonner par l’absurde, en appliquant l’exerc. 8, $c$, l’exerc. 7, $c$, l’exerc. 7, $b$) et conclure à l’aide de l’exerc. 4, $c$). b) On considère sur $M$ la topologie métrisable $\mathscr{T}$ définie en prenant comme système fondamental de voisinages de 0 les sous-modules $\pi^n M$ pour $n$ entier $\geqslant 0$ (TG, III, p. 5). Pour qu’un sous-module $P$ de $M$ soit tel que $M/P$ soit divisible, il faut et il suffit que $P$ soit partout dense dans $M$ pour la topologie $\mathscr{T}$. c) Soient $P_1, P_2$ deux sous-modules de $M$ qui sont purs, partout denses dans $M$ pour la topologie $\mathscr{T}$, et sommes directes de sous-modules monogènes. Montrer que $P_1$ et $P_2$ sont isomorphes (remarquer que pour tout $n$, $P_1/\pi^n P_1$ est isomorphe à $M/\pi^n M$). d) Soit $\hat{M}$ le complété de $M$ pour la topologie $\mathscr{T}$ (TG, III, p. 24). Montrer que pour tout $\alpha \in A$, $x \mapsto \alpha x$ est un morphisme strict de $\hat{M}$ sur $\alpha \hat{M}$, que pour tout entier $n$, $\pi^n \hat{M}$ est un sous-module ouvert et fermé, adhérence de $\pi^n M$, et que les modules quotients $\hat{M}/\pi^n \hat{M}$ et $M/\pi^n M$ sont isomorphes.

e) Soit $\overline{M}$ le sous-module de torsion de $\widehat{M}$; montrer que $\overline{M}$ est un module $\pi$-primaire, que l’on a $\overline{M} = \overline{M}$, et que M est un sous-module pur de $\overline{M}$. f) On suppose que le module $\pi$-primaire M est somme directe d’une famille $(E_\alpha)$ de sous-modules monogènes. Pour que $\mathscr{T}$ ne soit pas discrète il faut et il suffit que l’annulateur de M soit réduit à 0. Dans ce cas, soit E le module produit $\prod E_\alpha$ et soit F le sous-module de E formé des éléments dont les coordonnées sont nulles à l’exception d’une famille dénombrable d’entre elles ; montrer que $\widehat{M}$ peut alors être identifié (en tant que module non topologique) au sous-module de F formé des $(x_\alpha)$ tels que, pour tout entier $n$, il n’y ait qu’un nombre fini d’indices $\alpha$ pour lesquels $x_\alpha \notin \pi^n E_\alpha$. Montrer alors que les quatre modules M, $\widehat{M}$, $\overline{M}$ et F sont distincts. En déduire que $\overline{M}$ n’est pas somme directe de modules monogènes (utiliser e)), et qu’il n’est pas somme directe de modules indécomposables (remarquer que $\overline{M}$ ne contient aucun élément de hauteur infinie, et appliquer l’exerc. 8, c)).