Bài tập 12, § 2

Một môđun $\pi$-nguyên sơ M là một tổng trực tiếp của các môđun con cyclic khi và chỉ khi tồn tại một tập con giả tự do H trong M sao cho, nếu N là môđun con thuần của M sinh bởi H, thì $M(\pi) = N(\pi)$. b) Môđun M là một tổng trực tiếp của các môđun con cyclic khi và chỉ khi M là hợp của một dãy tăng $(P_k)$ các môđun con, sao cho các độ cao trong M của các phần tử khác không trong mỗi $P_k$ bị chặn. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, sử dụng a) và Bài tập 11, b).) c) Suy ra từ b) rằng nếu M là một tổng trực tiếp của các môđun con cyclic, thì mọi môđun con của M đều là một tổng trực tiếp của các môđun con cyclic. d) Cho M là một môđun $\pi$-nguyên sơ không có phần tử nào có độ cao vô hạn, có một hệ sinh đếm được $(x_i)$. Chứng minh rằng M là một tổng trực tiếp của các môđun con cyclic (nếu

P_k là môđun con sinh bởi x, với i ≤ k, thì áp dụng b) cho dãy tăng (P_k), sử dụng Bài tập 5 áp dụng cho dãy giảm (P_k ∩ π^iM) (với k cố định)). e) Cho M là một môđun $\tau$-nguyên sơ có một hệ sinh đếm được. Khi đó M là một tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được khi và chỉ khi môđun con N gồm các phần tử có độ cao vô hạn trong M là thuần (sử dụng d) và Bài tập 7, c)).