Exercice 12, § 2

a) Pour qu’un module $\pi$-primaire M soit somme directe de sous-modules monogènes, il faut et il suffit qu’il existe dans M une partie pseudolibre H telle que, si N est le sous-module pur de M engendré par H, on ait $M(\pi) = N(\pi)$. b) Pour que M soit somme directe de sous-modules monogènes, il faut et il suffit que M soit réunion d’une suite croissante $(P_k)$ de sous-modules, telle que pour chacun des $P_k$, les hauteurs dans M des éléments $\neq 0$ de $P_k$ soient bornées. (Pour voir que la condition est suffisante, utiliser a), et l’exerc. 11, b).) c) Déduire de b) que si M est somme directe de sous-modules monogènes, tout sous-module de M est somme directe de sous-modules monogènes. d) Soit M un module $\pi$-primaire sans élément de hauteur infinie, admettant un système dénombrable $(x_k)$ de générateurs. Montrer que M est somme directe de sous-modules monogènes (si $P_k$ est le sous-module engendré par les $x_i$ d’indice $\leq k$, appliquer b) à la suite croissante des $P_k$, en utilisant l’exerc. 5 appliqué (pour k fixe) à la suite décroissante des $P_k \cap \pi^j M$. e) Soit M un module $\pi$-primaire admettant un système dénombrable de générateurs. Pour que M soit somme directe de sous-modules indécomposables, il faut et il suffit que le sous-module N des éléments de hauteur infinie dans M soit pur (utiliser d) et l’exerc. 7, c)).