Bài tập 6, § 2

Cho M là một môđun xoắn trên một miền iđêan chính A, không sinh hữu hạn, nhưng mọi môđun con thực sự của nó đều sinh hữu hạn. Hãy chứng minh rằng tồn tại một phần tử bất khả quy $\tau_1$ của A sao cho M đẳng cấu với thành phần $\tau$-nguyên sơ $U_{\pi}$ của môđun $U = K/A$ (Bài tập 3, c)). (Trước hết hãy chứng minh rằng M không thể có nhiều hơn một thành phần $\pi$-nguyên sơ khác không, và do đó là một môđun $\tau$-nguyên sơ với một phần tử bất khả quy $\tau \in A$. Sau đó hãy chứng minh rằng $M = \pi M$ bằng cách nhận thấy rằng $M/\pi M$ không thể sinh hữu hạn nếu nó khác không; nhưng $M/\pi M$ là một không gian vectơ trên trường $A/\pi A$, và sẽ chứa một không gian con thực sự không sinh hữu hạn.)