Exercice 6, § 2

Soit M un module de torsion sur un anneau principal A, qui n’est pas de type fini, mais dont tous les sous-modules $\neq M$ sont de type fini. Montrer qu’il existe un élément extrémal $\pi$ de A tel que M soit isomorphe au composant $\pi$-primaire $U_\pi$ du module $U = K/A$ (exerc. 3, c)). (Montrer d’abord que M ne peut avoir plus d’un composant $\pi$-primaire $\neq 0$, et par suite est un module $\pi$-primaire pour un élément extrémal $\pi \in A$. Montrer alors que $M = \pi M$ en observant que $M/\pi M$ ne pourrait être de type fini s’il était $\neq 0$; mais $M/\pi M$ est un espace vectoriel sur le corps $A/A\pi$ et contiendrait un sous-module distinct de lui-même et non de type fini.)