Bài tập 9, § 2

a) Cho $M$ là một môđun $n$-nguyên sơ, và cho $M_1$ là môđun con của $M$ gồm các phần tử có độ cao vô hạn trong $M$. Chứng minh rằng môđun $n$-nguyên sơ $M/M_1$ không chứa phần tử khác không nào có độ cao vô hạn.

b) Cho $p$ là một số nguyên tố, và cho $E$ là tổng trực tiếp của các $p$-nhóm $E_n = \mathbf{Z}/(p^n)$ ($n \geq 1$); ký hiệu $e_n$ là lớp thặng dư của 1 mod $p^n$ trong $E_n$. Cho $H$ là môđun con của $E$ sinh bởi các phần tử $e_1 - p^{n-1} e_n$ với mọi số nguyên $n \geq 2$. Cho $M$ là môđun thương $E/H$. Chứng minh rằng môđun con $M_1$ gồm các phần tử có độ cao vô hạn trong $M$ là môđun con $(E, + H)/H$, đẳng cấu với $E_1$, và chứng minh rằng không có phần tử khác không nào trong $M_1$ có độ cao vô hạn trong $M$.