Exercice 9, § 2

a) Soit $M$ un module $\pi$-primaire, et soit $M_0$ le sous-module de $M$ formé des éléments de hauteur infinie dans $M$. Montrer que le module $\pi$-primaire $M/M_0$ ne contient aucun élément $\neq 0$ de hauteur infinie. b) Soit $p$ un nombre premier, et soit $E$ le $p$-groupe somme directe des groupes $E_n = \mathbf{Z}/(p^n)$ ($n \geqslant 1$) ; on désigne par $e_n$ la classe de 1 mod. $p^n$ dans $E_n$. Soit $H$ le sous-module de $E$ engendré par les éléments $e_1 - p^{n-1} e_n$ pour tous les entiers $n \geqslant 2$. Soit $M$ le module quotient $E/H$. Montrer que dans $M$ le sous-module $M_0$ des éléments de hauteur infinie est le sous-module $(E_1 + H)/H$, qui est isomorphe à $E_1$, et montrer qu’il n’existe dans $M_0$ aucun élément $\neq 0$ qui soit de hauteur infinie dans $M_0$.