Bài tập 23, § 4

Cho $A$ là một miền iđêan chính và $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh rằng nếu $N$ và $P$ là hai $A$-môđun sao cho $M \oplus N$ và $M \oplus P$ đẳng cấu, thì $N$ và $P$ đẳng cấu. (Rút gọn về trường hợp $M$ là xyclic; bằng cách đồng nhất $M \oplus N$ với $M \oplus P$, ta có thể xét một $A$-môđun $E$ được phân tích theo hai cách thành tổng trực tiếp của các môđun con $F \oplus N$ và $G \oplus P$, trong đó $F$ và $G$ là xyclic và đẳng cấu. Trong trường hợp $F$ và $G$ đẳng cấu với $A$, chứng minh rằng nếu $N \neq P$ thì $N$ là tổng trực tiếp của $N \cap P$ và một môđun con đẳng cấu với $A$. Nếu $F$ và $G$ đẳng cấu với $A/\mathbf{A}\pi^n$, trong đó $\pi$ là một phần tử bất khả quy của $A$, xét hai phần tử sinh $a, b$ tương ứng của $F, G$, và khảo sát các trường hợp $\pi^n a \notin G,\ \pi^n b \notin F$, và cuối cùng là trường hợp cả hai $\pi^{n-1}a \in G$ và $\pi^{n-1}b \in F$; trong trường hợp cuối cùng này, xét phần tử $a + b$ của $E$ và môđun con mà nó sinh ra.)