Exercice 23, § 4

Soient $A$ un anneau principal, $M$ un $A$-module de type fini. Montrer que si $N$ et $P$ sont deux $A$-modules tels que $M \oplus N$ et $M \oplus P$ soient isomorphes, alors $N$ et $P$ sont isomorphes. (Se ramener au cas où M est monogène ; en identifiant M ⊕ N et M ⊕ P, on peut considérer que l’on a un A-module E décomposé de deux manières en somme directe de sous-modules, F ⊕ N et G ⊕ P, où F et G sont monogènes et isomorphes. Lorsque F et G sont isomorphes à A, montrer que si N ≠ P, N est somme directe de N ∩ P et d’un sous-module isomorphe à A. Si F et G sont isomorphes à A/Aπ^n, où π est un élément extrémal de A, considérer deux générateurs a, b respectivement de F et G, et examiner successivement le cas où π^{n−1}a ∉ G, π^{n−1}b ∉ F, et finalement le cas où l’on a à la fois π^{n−1}a ∈ G et π^{n−1}b ∈ F ; dans ce dernier cas, considérer l’élément a + b de E et le sous-module qu’il engendre.)