Bài tập 24, § 4

Một nhóm Abel $G$ đẳng cấu với một nhóm con của nhóm nhân $K^*$ của các phần tử khác không của một trường giao hoán $K$ nào đó khi và chỉ khi nhóm con xoắn $T$ của $G$ có hạng $\leq 1$ (Bài tập 22). (Đối với tính cần thiết của điều kiện này, xem V, p. 79, Mệnh đề 2 ; dùng cùng tham chiếu để chỉ ra rằng điều kiện này đủ để $T$ đẳng cấu với một nhóm con của $E^*$, với một trường $E$ nào đó. Với mọi $a \in G/T$, gọi $g_a$ là một đại diện lớp ghép của $a$ trong $G$, khi đó, đồng nhất hóa $T$ với một nhóm con của $E^*$, ta có thể viết $g_a g_b = e_{\alpha\beta} g_{(\alpha\beta)}$ với mọi $a, \beta \in G/T$, trong đó $e_{\alpha\beta} \in E$. Chứng minh rằng tồn tại một $E$-đại số $B$ với cơ sở $(b_i)_{i \in G/T}$ sao cho $b_a b_b = e_{\alpha\beta} b_{(\alpha\beta)}$ với mọi $a, \beta$, và chứng minh rằng $B$ là một miền nguyên bằng cách sử dụng VI, p. 33, Bài tập 20, c). Khi đó trường phân thức $K$ của $B$ thỏa mãn các điều kiện mong muốn.)