Exercice 24, § 4

Pour qu’un groupe commutatif G soit isomorphe à un sous-groupe du groupe multiplicatif K* des éléments ≠ 0 d’un corps commutatif K, il faut et il suffit que le groupe de torsion T de G soit de rang ≤ 1 (exerc. 22). (Pour la nécessité de la condition, cf. V, p. 75, prop. 2 ; même référence pour prouver que la condition est suffisante pour que T soit isomorphe à un sous-groupe de E*, où E est un corps. Si, pour tout α ∈ G/T, g_α est un représentant de la classe α dans G, on peut alors écrire, en identifiant T à un sous-groupe de E*, g_αg_β = e_{αβ}g_{αβ} avec e_{αβ} ∈ E, quels que soient α et β dans G/T. Montrer qu’il existe une E-algèbre B ayant une base (b_α)_{α∈G/T} telle que b_αb_β = e_{αβ}b_{αβ} quels que soient α, β, et prouver que B est un anneau intègre en utilisant VI, p. 31, exerc. 20, c). Le corps des fractions K de B répond alors à la question.)