Bài tập 8, § 4

Cho G là một môđun có độ dài hữu hạn trên một miền iđêan chính A. Với mọi cặp môđun tự do M và N sao cho $N \subset M$ và G đẳng cấu với $M/N$, các nhân tử bất biến của N đối với M phân biệt với A trùng với các nhân tử bất biến của G (VII, p. 20, Định nghĩa 2); số của chúng được gọi là hạng của G.

a) Chứng minh rằng hạng $r$ của G là số nhỏ nhất các môđun con cyclic của G mà G là tổng trực tiếp của chúng, và bằng hạng lớn nhất trong các hạng của các thành phần $\pi$-nguyên sơ của G.

b) Chứng minh rằng hạng của một môđun con hoặc một môđun thương của G không vượt quá hạng của G (coi G như một thương của hai môđun tự do có hạng r).

c) Với mỗi $A \in A$, chứng minh rằng hạng của môđun con AG bằng số các nhân tử bất biến của G không chia hết cho A (chú ý rằng, nếu $E = A/(A\alpha)$, thì môđun $\lambda E$ đẳng cấu với $(A\lambda)/((A\alpha) \cap (A\lambda))$). Suy ra rằng nhân tử bất biến thứ k của G (theo thứ tự giảm) là một ước chung lớn nhất của các $A \in A$ sao cho AG có hạng $\leq r - k$.

d) Cho $A\alpha_k$ ($1 \leq k \leq r$) là các nhân tử bất biến của G được sắp xếp theo thứ tự giảm. Cho H là một môđun con của G có hạng $r - q$, và cho $A\beta_k$ ($1 \leq k \leq r - q$) là các nhân tử bất biến của nó, được sắp xếp theo thứ tự giảm. Suy ra từ b) và c) rằng $\beta_k$ chia hết cho $\alpha_{k-q}$ với $1 \leq k \leq r - q$. Tương tự, chứng minh rằng, nếu $G/H$ có hạng $r - p$ và các nhân tử bất biến $Ay, (1 \leq k \leq r - p)$ theo thứ tự giảm, thì $\gamma_k$ chia hết cho $a_{r-p}$ với $1 \leq k \leq r - p$.

e) Ngược lại, cho L là một môđun xoắn có hạng $r - q$, có các nhân tử bất biến $A\lambda_k$ ($1 \leq k \leq r - q$) sao cho $\lambda_k$ chia hết cho $\alpha_{k+q}$ với $1 \leq k \leq r - q$. Chứng minh rằng tồn tại các môđun con M và N của G sao cho L đẳng cấu với M và với G/N (phân tích G thành một tổng trực tiếp của các môđun con đẳng cấu với $A/A\alpha_k$).