Exercice 8, § 4

Soit G un module de longueur finie sur un anneau principal A. Pour tout couple de deux modules libres M, N tels que $N \subset M$ et que G soit isomorphe à $M/N$, les facteurs invariants de N par rapport à M qui sont distincts de A sont identiques aux facteurs invariants de G (VII, p. 20, déf. 2) ; leur nombre est appelé le rang de G. a) Montrer que le rang r de G est le plus petit nombre de sous-modules monogènes de G dont G soit la somme directe, et est égal au plus grand des rangs des composants $\pi$-primaires de G. b) Montrer que le rang d’un sous-module ou d’un module quotient de G est au plus égal au rang de G (considérer G comme quotient de deux modules libres de rang r). c) Pour tout $\lambda \in A$, montrer que le rang du sous-module $\lambda G$ est égal au nombre des facteurs invariants de G qui ne divisent pas $\lambda$ (remarquer que, si $E = A/(A\alpha)$, le module $\lambda E$ est isomorphe à $(A\lambda)/((A\alpha) \cap (A\lambda))$). En déduire que le k-ième facteur invariant de G (lorsque ces idéaux sont rangés par ordre décroissant) est un pgcd des $\lambda \in A$ tels que $\lambda G$ soit de rang $\leq r - k$. d) Soient $A\alpha_k \ (1 \leq k \leq r)$ les facteurs invariants de G rangés par ordre décroissant. Soit H un sous-module de G, de rang $r - q$, et soient $A\beta_k \ (1 \leq k \leq r - q)$ ses facteurs invariants, rangés par ordre décroissant. Déduire de b) et de c) que $\beta_k$ divise $\alpha_{k+q}$ pour $1 \leq k \leq r - q$. Montrer de même que, si $G/H$ est de rang $r - p$, et si $A\gamma_k \ (1 \leq k \leq r - p)$ sont ses facteurs invariants, rangés par ordre décroissant, $\gamma_k$ divise $\alpha_{k+p}$ pour $1 \leq k \leq r - p$. e) Inversement, soit L un module de torsion de rang $r - q$, dont les facteurs invariants $A\lambda_k$ (1 \leq k \leq r - q) sont tels que $\lambda_k$ divise $\alpha_{k+q}$ pour $1 \leq k \leq r - q$. Montrer qu’il existe deux sous-modules M et N de G tels que L soit isomorphe à M et à G/N (décomposer G en somme directe de sous-modules isomorphes aux $A/\mathbf{A}\alpha_k$).