Bài tập 10, § 5

(a) Chứng minh rằng, trên một trường tùy ý $K$, ma trận

đồng dạng với ma trận Jordan $U_{n,\lambda}$ nếu $\alpha \neq 0$. b) Nếu $\lambda \neq 0$ và $K$ có đặc số 0, chứng minh rằng $(U_{n,\lambda})^m$ đồng dạng với ma trận Jordan $U_{n,\lambda^m}$ với mọi số nguyên $m$ (dương hoặc âm). c) Chứng minh rằng $(U_{n,0})^m = 0$ với $m \geq n$. Với $0 < m < n$, đặt $n - 1 = km + q$ với $0 \leq q < m$; chứng minh rằng $(U_{n,0})^m$ có $q + 1$ bất biến đồng dạng bằng $X^{k+1}$ và $m - q - 1$ bất biến đồng dạng bằng $X^k$ (sắp xếp cơ sở chính tắc của $K^n$ theo một thứ tự thích hợp). d) Tương tự, xác định các bất biến đồng dạng của $f(U_{n,\lambda})$ với $f \in K[X]$. e) Thảo luận các bài toán tương tự cho $K$ có đặc số $p \neq 0$.