Exercice 10, § 5

a) Montrer que, sur un corps quelconque $K$, la matrice

est semblable à la matrice de Jordan $U_{n,\lambda}$ si $\alpha \neq 0$.

b) Si $\lambda \neq 0$ et si $K$ est de caractéristique 0, montrer que $(U_{n,\lambda})^m$ est semblable à la matrice de Jordan $U_{n,\lambda^m}$ pour tout entier $m$ (positif ou négatif). c) On a $(U_{n,0})^m = 0$ pour $m \geq n$. Pour $0 < m < n$, soit $n - 1 = km + q$ avec $0 \leq q < m$; montrer que $(U_{n,0})^m$ a $q + 1$ invariants de similitude égaux à $X^{k+1}$ et $m - q - 1$ invariants de similitude égaux à $X^k$ (ranger dans un ordre convenable les éléments de la base canonique de $K^n$). d) Déterminer de même les invariants de similitude de $f(U_{n,\lambda})$ où $f \in K[X]$. e) Traiter les mêmes problèmes lorsque $K$ est de caractéristique $p \neq 0$.