Bài tập 2, § 5

(a) Chứng minh rằng mọi ma trận bình phương trên một trường $K$ đều đồng dạng với ma trận chuyển vị của nó (quy về trường hợp ma trận Jordan). (b) Chứng minh rằng trên vành $\mathbf{Z}$ các số nguyên hữu tỉ, ma trận $\begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ không đồng dạng với ma trận chuyển vị của nó. (c) Cho $u$ là một tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều trên $K$. Khi đó mọi trị riêng $\lambda$ của $u$ cũng là một trị riêng của tự đồng cấu chuyển vị $'u$ của $E^*$. Hơn nữa, nếu $A$ và $\mu$ là hai trị riêng phân biệt của $u$, nếu $x$ là một vectơ riêng của $u$ tương ứng với $A$, và nếu $y^*$ là một vectơ riêng của $'u$ tương ứng với $\mu$, thì $\langle x, y^* \rangle = 0$.