Exercice 2, § 5

a) Montrer que toute matrice carrée sur un corps K est semblable à sa transposée (se ramener au cas d’une matrice de Jordan).

b) Montrer que sur l’anneau Z des entiers rationnels, la matrice $\begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ n’est pas semblable à sa transposée.

c) Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur K. Toute valeur propre λ de u est aussi valeur propre de l’endomorphisme transposé 'u de E*. En outre, si λ et μ sont deux valeurs propres distinctes de u, x un vecteur propre de u correspondant à λ, y* un vecteur propre de 'u correspondant à μ, on a $\langle x, y^* \rangle = 0$.