Bài tập 5, § 5

(a) Cho $K$ là một trường đóng đại số, và cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ trên $K$, dưới dạng một khối đường chéo $\operatorname{diag}(A_i)$ của các ma trận tam giác dưới $A_i$, sao cho các phần tử đường chéo của $A_i$ đều bằng cùng một phần tử $a$ của $K$ ($1 \leq i \leq r$), và $\alpha_i \neq \alpha_j$ với $i \neq j$. Chứng minh rằng mọi ma trận vuông $B$ giao hoán với $A$ đều là một khối đường chéo $\operatorname{diag}(B_i)$, trong đó $B_i$ có cùng kích thước với $A_i$ với $1 \leq i \leq r$. (b) Cho $M$ là một tập hợp các ma trận vuông giao hoán cấp $n$ trên $K$. Chứng minh rằng bằng cách áp dụng cùng một phép đồng dạng cho tất cả các ma trận trong $M$, ta có thể đưa tất cả chúng về dạng các khối đường chéo $\operatorname{diag}(X_i)$ của các ma trận tam giác dưới, trong đó số $r$ các $X_i$ và cấp $m$ của $X_i$ đối với mỗi $i$ là như nhau đối với mỗi ma trận trong $M$, và trong đó tất cả các trị riêng của $X_i$ đều bằng nhau. (Dùng $a$) để rút gọn về trường hợp $r = 1$, rồi dùng Bổ đề 3 của VII, p. 41 để chứng minh rằng trong trường hợp này tất cả các ma trận trong $M$ có một vectơ riêng chung khác không, và hoàn thành chứng minh bằng quy nạp theo $n$)