Exercice 5, § 5

a) Soient K un corps algébriquement clos, A une matrice carrée d’ordre n sur K, mise sous forme d’un tableau diagonal diag(A_i) de matrices triangulaires inférieures telles que tous les éléments diagonaux de A_i soient égaux à un même élément α_i ∈ K (1 ≤ i ≤ r), et

EXERCICES

que $\alpha_i \neq \alpha_j$ pour $i \neq j$. Montrer que toute matrice carrée $B$ permutable avec $A$ est un tableau diagonal $\operatorname{diag}(B_i)$, où $B_i$ est de même ordre que $A_i$ pour $1 \leq i \leq r$.

b) Soit $M$ un ensemble de matrices carrées d’ordre $n$ sur $K$, deux à deux permutables. Montrer qu’en faisant une même similitude sur toutes les matrices de $M$, on peut les supposer être toutes des tableaux diagonaux $\operatorname{diag}(X_i)$ de matrices triangulaires inférieures, le nombre $r$ des $X_i$ et, pour chaque $i$, l’ordre $m_i$ de $X_i$ étant les mêmes pour toutes les matrices de $M$, et la matrice $X_i$ ayant toutes ses valeurs propres égales. (Utiliser a) pour se ramener au cas où $r = 1$, puis le lemme 3 de VII, p. 40 pour montrer que dans ce cas toutes les matrices de $M$ ont un vecteur propre non nul commun, et terminer en raisonnant par récurrence sur $n$.)