Bài tập 14, Phụ lục 1

Cho A và B là các $k$-đại số; một giả song môđun $(A,B)$ là một tập hợp E được trang bị cấu trúc môđun giả trái trên A và cấu trúc môđun giả phải trên B sao cho các cấu trúc $k$-môđun nền trùng nhau. Điều này tương ứng với việc trang bị cho E cấu trúc song môđun trên các đại số $\widetilde{A}$ và $\widetilde{B}$. Một nhân tử của E là một cặp $(S,D)$, trong đó $S : B\rightarrow E$ là một đồng cấu của các giả môđun phải trên B và $D : A\rightarrow E$ là một đồng cấu của các giả môđun trái trên A, thỏa mãn $aS(b) = D(a)b$ với $a\in A,b\in B$. Ta ký hiệu $\mathscr{M}(E)$ là tập hợp các nhân tử của E; nó có một cấu trúc $k$-môđun tự nhiên.

a) Với mọi $x\in E$, ta ký hiệu bởi $D_x$ (tương ứng, $S_x$) ánh xạ $a\mapsto ax$ (tương ứng, $b\mapsto xb$). Chứng minh rằng cặp $m_x= (D_x,S_x)$ là một nhân tử của E.

b) Với mọi $m= (S,D)\in \mathscr{M}$(E), $a\in A$, và $b\in B$, đặt $am=m_{D(a)}$ và $mb=m_{S(b)}$. Chứng minh rằng điều này xác định trên $k$-môđun $\mathscr{M}(E)$ cấu trúc của một $(A$, B)-giả song môđun và rằng ánh xạ $x\mapsto m_x$ là một đồng cấu của các $(A$, B)-giả song môđun.