Exercice 14, Annexe 1

Soient A et B des $k$-algèbres ; on appelle $(A,B)$-pseudobimodule un ensemble E muni d’une structure de pseudomodule à gauche sur A et d’une structure de pseudomodule à droite sur B telles que les structures de $k$-module sous-jacentes coïncident ; il revient au même de se donner sur E une structure de bimodule sur les algèbres $\widetilde{A}$ et $\widetilde{B}$. On appelle multiplicateur de E un couple $(S,D)$ où $S : B\rightarrow E$ est un homomorphisme de B-pseudomodules à droite et $D : A\rightarrow E$ un homomorphisme de A-pseudomodules à gauche, satisfaisant à $aS(b) = D(a)b$ pour $a\in A,b\in B$. On note $\mathscr{M}(E)$ l’ensemble des multiplicateurs de E ; il admet une structure naturelle de $k$-module.

a) Pour tout $x\in E$ on note $D_x$ (resp. $S_x$) l’application $a\rightarrow ax$ (resp. $b\rightarrow xb$). Montrer que le couple $m_x= (D_x,S_x)$ est un multiplicateur de E.

b) Pour tout $m= (S,D)\in \mathscr{M}$(E), $a\in A$ et $b\in B$, on pose $am=m_{D(a)}$, et $mb=m_{S(b)}$. Démontrer que l’on définit ainsi sur le $k$-module $\mathscr{M}(E)$ une structure de $(A$,B)-pseudobimodule et que l’application $x\rightarrow m_x$ est un homomorphisme de $(A,B)$-pseudobimodules.