Bài tập 15, Phụ lục 1

Cho A là một $k$-đại số. Một nhân tử của A là một nhân tử của giả song môđun $(A,A)$ A. Ta ký hiệu đại số $k$ các nhân tử của A bởi $\mathscr{M}(A)$. a) Chứng minh rằng ánh xạ $\mu:a\mapsto m_a$ là một đồng cấu đại số $k$ và rằng ta có $am=m_am$ và $ma=mm_a$ với $a\in A, m\in \mathscr{M}(A)$. Do đó ảnh của đồng cấu $\mu$ là một iđêan hai phía của vành $\mathscr{M}(A)$.

b) Một iđêan hai phía $\mathfrak{b}$ của một $k$-đại số A được gọi là trung thành nếu các linh hóa tử trái và phải của nó đều bằng không. Hãy chỉ ra rằng nếu A là trung thành trong A, thì đồng cấu $\mu$ là đơn ánh và iđêan $\mu(A)$ là trung thành trong $\mathscr{M}(A)$.

c) Cho B là một $k$-đại số có đơn vị chứa A như một iđêan hai phía. Với $b\in B$, gọi $\sigma_b$ và $\delta_b$ là các ánh xạ từ A vào A sao cho với $a\in A$, ta có $\sigma_b(a) =ba$ và $\delta_b(a) =ab$, và đặt $\pi (b) = (\sigma_b, \delta_b)$. Hãy chỉ ra rằng $\pi (b)\in \mathscr{M}(A)$ với mọi $b\in B$ và ánh xạ thu được $\pi : B\rightarrow \mathscr{M}(A)$ là một đồng cấu vành mà hạn chế của nó lên A là ánh xạ $a\mapsto m_a$. Hãy chỉ ra rằng $\pi$ là đơn ánh nếu iđêan A là trung thành trong B.