Exercice 15, Annexe 1

Soit A une $k$-algèbre. On appelle multiplicateur de A tout multiplicateur du $(A,A)$-pseudobimodule A. On note $\mathscr{M}(A)$ la $k$-algèbre des multiplicateurs de A.

a) Démontrer que l’application $\mu :a\rightarrow m_a$ est un homomorphisme de $k$-algèbres et qu’on a $am=m_am$ et $ma=mm_a$ pour $a\in A, m\in \mathscr{M}(A)$. L’image de l’homomorphisme $\mu$ est ainsi un idéal bilatère de l’anneau $\mathscr{M}(A)$.

b) Un idéal bilatère $\mathfrak{b}$ d’une $k$-algèbre A est dit fidèle si ses annulateurs à droite et à gauche sont nuls. Montrer que si A est fidèle dans A, l’homomorphisme $\mu$ est injectif et l’idéal $\mu (A)$ est fidèle dans $\mathscr{M}(A)$.

c) Soit B une $k$-algèbre unifère contenant A comme idéal bilatère. Pour $b\in B$, soient $\sigma_b$ et $\delta_b$ les applications de A dans A telles que pour $a\in A,\sigma_b(a) =ba$ et $\delta_b(a) =ab$, et posons $\pi (b) = (\sigma_b, \delta_b)$. Montrer que $\pi (b)\in \mathscr{M}(A)$ pour tout $b\in B$ et que l’application $\pi : B\rightarrow \mathscr{M}(A)$ ainsi définie est un homomorphisme d’anneaux dont la restriction à A est l’application $a\rightarrow m_a$. Montrer que $\pi$ est injectif si l’idéal A est fidèle dans B.