Bài tập 2, Phụ lục 1

Cho A là một $k$-đại số, và cho $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ là các iđêan trái chính quy của A.

a) Iđêan $\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$ là chính quy khi và chỉ khi tồn tại các đơn vị phải $u$ modulo $\mathfrak{a}$ và $v$ modulo $\mathfrak{b}$ sao cho $u-v\in \mathfrak{a}+\mathfrak{b}$.

b) Suy ra rằng $\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$ là chính quy nếu $\mathfrak{a}$ là hai phía và chính quy phải, hoặc nếu $\mathfrak{a}$ là cực đại. c) Cho K là một trường giao hoán, L là đại số K kết hợp tự do trên hai biến X và Y (III, §2, No. 7, p. 448), và A là K-đại số con của L gồm các phần tử có bậc $\geqslant 1$. Chứng minh rằng các iđêan $A(1-X)$ và $A(1-Y)$ của A là chính quy nhưng giao của chúng bị thu về 0.