Exercice 2, Annexe 1

Soient A une $k$-algèbre, $\mathfrak{a}$ et $\mathfrak{b}$ des idéaux (à gauche) réguliers de A.

a) Pour que l’idéal $\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$ soit régulier, il faut et il suffit qu’il existe des unités à droite $u$ modulo $\mathfrak{a}$ et $v$ modulo $\mathfrak{b}$ telles que $u-v\in \mathfrak{a}+\mathfrak{b}$.

b) En déduire que $\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$ est régulier si $\mathfrak{a}$ est bilatère et régulier à droite, ou si $\mathfrak{a}$ est maximal.

c) Soient K un corps commutatif, L la K-algèbre associative libre en deux indéterminées X et Y (III, p. 21), A la sous-K-algèbre de L formée des éléments de degré $\geqslant 1$. Prouver que les idéaux $A(1-X)$ et $A(1-Y)$ de A sont réguliers, mais que leur intersection est réduite à (0).