Bài tập 3, Phụ lục 2

Cho $A = A_0\oplus A_1$ là một vành phân bậc kiểu $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$. Giả sử rằng $A_0$ được chứa trong tâm của A và mọi phần tử của $A_1$ đều có bình phương bằng không.

a) Gọi $A^2_1$ là môđun con $\mathbf{Z}$ của $A_0$ sinh bởi các tích của hai phần tử của $A_1$; hãy chứng minh rằng $A^2_1$ là một iđêan nil của $A_0$ và $A^2_1\oplus A_1$ là một iđêan lũy linh hai phía của A.

b) Cho $p, q$ là các số nguyên $\geqslant 0$. Ký hiệu bởi $A^{p|q}$ A-môđun phải phân bậc tự do $A^p_d\oplus A_d(1)^q$ (II, §11, No. 2, p. 365, Ví dụ 3) và bởi $\mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$ nhóm các tự đẳng cấu (phân bậc) (bậc 0) của $A^{p|q}$. Một tự đẳng cấu như vậy được biểu diễn trong cơ sở chính tắc của $A^{p|q}$ bởi một ma trận $X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ với $A\in \mathbf{M}_p(A_0)$, $B\in \mathbf{M}_{p,q}(A_1),C\in \mathbf{M}_{q,p}(A_1),D\in \mathbf{M}_q(A_0)$. Hãy chứng minh rằng các ma trận A và D khả nghịch (dùng a) và Bài tập 16 của VIII, p. 168). c) Với X như trên, đặt sdetX = det($A-$ BD$^{-1}C$) det $D^{-1}$. Hãy chứng minh rằng sdet X là một phần tử khả nghịch của $A_0$.

d) Hãy chứng minh rằng mọi ma trận $X\in \mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$ đều có thể viết được thành một tích

(Lấy $R = BD^{-1}$, $P = A-BD^{-1}C$, $Q = D$, $S = D^{-1}C$.)

e) Chứng minh rằng sdet là một đồng cấu từ $\mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$ vào nhóm các phần tử khả nghịch của $A_0$. (Dùng d) để rút gọn về việc chứng minh đẳng thức sdet(XY) = sdet X sdet Y khi X có dạng $\begin{pmatrix} I & 0 \\ S & I \end{pmatrix}$, trong đó S là một ma trận sơ cấp. Nhận thấy rằng với mọi ma trận $R\in \mathbf{M}_{p,q}(A_1)$, tích của hai phần tử tùy ý của ma trận RS (tương ứng, SR) đều bằng không, và suy ra đẳng thức $\det (I-RS) = (\det (I-SR))^{-1}$.)

f ) Cho $X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ là một phần tử của $\mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$; đặt $^{st}X = \begin{pmatrix} {}^tA & {}^tC \\ -{}^tB & {}^tD \end{pmatrix}$ và $^{\pi}X = \begin{pmatrix} D & C \\ B & A \end{pmatrix}$. Cho $Y\in \mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$; ta có $^{st}($XY$) =^{st}Y^{st}X$ và $^{\pi}($XY$) =^{\pi}X^{\pi}Y$. Chứng minh các đẳng thức sdet X = sdet$^{st}X$ = (sdet$^{\pi}X$)$^{-1}$ (dùng d) để tính sdet$^{\pi}X$).