Exercice 3, Annexe 2

Soit $A = A_0\oplus A_1$ un anneau gradué de type $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$; on suppose que $A_0$ est contenu dans le centre de A, et que tout élément de $A_1$ est de carré nul.

a) Soit $A^2_1$ le sous-$\mathbf{Z}$-module de $A_0$ engendré par les produits de deux éléments de $A_1$; montrer que $A^2_1$ est un nilidéal de $A_0$, et que $A^2_1\oplus A_1$ est un nilidéal bilatère de A.

b) Soient $p, q$ des entiers $\geqslant 0$. On note $A^{p|q}$ le A-module à droite gradué libre $A^p_d\oplus A_d(1)^q$ (II, p. 165, exemple 3) et $\mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$ le groupe des automorphismes (gradués de degré 0) de $A^{p|q}$. Un tel automorphisme est représenté dans la base canonique de $A^{p|q}$ par une matrice $X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$, avec $A\in \mathbf{M}_p(A_0), B\in \mathbf{M}_{p,q}(A_1), C\in \mathbf{M}_{q,p}(A_1), D\in \mathbf{M}_q(A_0)$. Prouver que les matrices A et D sont inversibles (utiliser a) et l’exerc. 16 de VIII, p. 163).

c) Pour X comme ci-dessus, on pose sdet X = det($A-$ BD$^{-1}C$) det $D^{-1}$. Prouver que sdet X est un élément inversible de $A_0$.

d) Démontrer que toute matrice $X\in \mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$ peut s’écrire sous forme d’un produit

(Prendre $R = BD^{-1}$, $P = A-BD^{-1}C$, $Q = D$, $S = D^{-1}C$.)

e) Démontrer que sdet est un homomorphisme de $\mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$ dans le groupe des éléments inversibles de $A_0$ (se ramener à l’aide de d) à prouver l’égalité sdet(XY ) = sdet X sdet Y lorsque X est de la forme $\begin{pmatrix} I & 0 \\ S & I \end{pmatrix}$, où S est une matrice élémentaire ; observer alors que pour toute matrice $R\in \mathbf{M}_{p,q}(A_1)$, le produit de deux éléments quelconques de la matrice RS (resp. SR) est nul, et en déduire l’égalité $\det (I-RS) = (\det (I-SR))^{-1}$.

f ) Soit $X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ un élément de $\mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$; on pose $^{st}X = \begin{pmatrix} {}^tA & {}^tC \\ -{}^tB & {}^tD \end{pmatrix}$ et $^{\pi}X = \begin{pmatrix} D & C \\ B & A \end{pmatrix}$. Soit $Y\in \mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$; on a $^{st}($XY $) =^{st}Y^{st}X$et $^{\pi}($XY $) =^{\pi}X^{\pi}Y$. Démontrer les formules sdet X = sdet $^{st}X$= (sdet $^{\pi}X$ )$^{-1}$ (utiliser d) pour calculer sdet $^{\pi}X$).