Bài tập 4, Phụ lục 2

Giữ các giả thiết của Bài tập 3. Cho $M = M_0\oplus M_1$ là một A-môđun phải phân bậc tự do sinh hữu hạn; tồn tại các số nguyên duy nhất $p, q$ sao cho M đẳng cấu với $A^{p|q}$. Ta nói một cơ sở của M là thích nghi nếu $p$ vectơ đầu tiên của nó là thuần nhất bậc 0 và $q$ vectơ cuối cùng là thuần nhất bậc 1.

a) Cho $u$ là một tự đẳng cấu của môđun phân bậc M, và gọi $M_{\mathscr{B}}(u)$ là ma trận của nó đối với một cơ sở thích nghi $\mathscr{B}$. Chứng minh rằng phần tử sdet $M_{\mathscr{B}}(u)$ không phụ thuộc vào lựa chọn $\mathscr{B}$. Ta ký hiệu nó bởi sdet $u$.

b) Ký hiệu bởi $u(1)$ tự đồng cấu $u$ được xem như một tự đẳng cấu của môđun phân bậc M(1). Nếu $\mathscr{B}$ là một cơ sở thích nghi của M, thì cơ sở $^{\pi}\mathscr{B}$ thu được bằng cách đổi chỗ $p$ vectơ đầu của $\mathscr{B}$ và $q$ vectơ cuối là một cơ sở thích nghi của M(1), và ta có $M_{_{\pi}\mathscr{B}}(u(1)) =^{\pi}M_{\mathscr{B}}(u)$ (Bài tập 3, f)). Suy ra rằng ta có sdet($u(1)$) $=$ (sdet $u$)$^{-1}$.

c) Trên mọi A-môđun trái phân bậc N, ta định nghĩa một cấu trúc A-môđun phải phân bậc chính tắc bằng cách đặt $ax= (-1)^{ij}xa$ for $a\in A_i,x\in N_j$. Đặc biệt, ta xem đối ngẫu phân bậc $M^{*gr}$ của M như một A-môđun phải phân bậc, cũng đẳng cấu với $A^{p|q}$. Cho $u$ là một tự đẳng cấu của M. Ta ký hiệu bởi $^{st}u$ tự đẳng cấu của $M^{*gr}$ được đặc trưng bởi công thức $\langle^{st}u(x^*), x\rangle = (-1)^{rs}\langle x^*, u(x)\rangle$ for $x^*\in (M^{*gr})_r,x\in M_s$. Nếu $\mathscr{B}$ là một cơ sở thích nghi của M, thì cơ sở đối ngẫu $\mathscr{B}^*$ là một cơ sở thích nghi của $M^{*gr}$, và ta có $M_{\mathscr{B}^*}(^{st}u) =^{st}M_{\mathscr{B}}(u)$ (Bài tập 3, f)). Ta có sdet($^{st}u$) $=$ sdet($u$).