Exercice 4, Annexe 2

On conserve les hypothèses de l’exerc. 3. Soit $M = M_0\oplus M_1$ un A-module à droite gradué libre de type fini ; il existe des entiers $p, q$, uniquement déterminés, tel que M soit isomorphe à $A^{p|q}$. On dit qu’une base de M est adaptée si ses $p$ premiers vecteurs sont homogènes de degré 0 et les $q$ derniers homogènes de degré 1.

a) Soient $u$ un automorphisme du module gradué M, $M_{\mathscr{B}}(u)$ sa matrice dans une base adaptée $\mathscr{B}$; prouver que l’élément sdet $M_{\mathscr{B}}(u)$ ne dépend pas du choix de $\mathscr{B}$. On le note sdet $u$.

b) On note $u(1)$ l’endomorphisme $u$ considéré comme automorphisme du module gradué M(1). Si $\mathscr{B}$ est une base adaptée de M, la base $^{\pi}\mathscr{B}$ obtenue en échangeant les $p$ premiers vecteurs de $\mathscr{B}$ avec les $q$ derniers est une base adaptée de M(1), et l’on a $M_{_{\pi}\mathscr{B}}(u(1)) =^{\pi}M_{\mathscr{B}}(u)$ (exerc. 3 f )). En déduire qu’on a sdet($u(1)$) $=$ (sdet $u$)$^{-1}$.

c) On définit sur tout A-module à gauche gradué N une structure canonique de A-module à droite gradué en posant $ax= (-1)^{ij}xa$ pour $a\in A_i,x\in N_j$; en particulier, on considérera le dual gradué $M^{*gr}$ de M comme un A-module à droite gradué, également isomorphe à $A^{p|q}$. Soit $u$ un automorphisme de M ; on note $^{st}u$ l’automorphisme de $M^{*gr}$ caractérisé par la formule $\langle^{st}u(x^*), x\rangle = (-1)^{rs}\langle x^*, u(x)\rangle$ pour $x^*\in (M^{*gr})_r,x\in M_s$. Si $\mathscr{B}$ est une base adaptée de M, la base duale $\mathscr{B}^*$ est une base adaptée de $M^{*gr}$, et l’on a $M_{\mathscr{B}^*}(^{st}u) =^{st}M_{\mathscr{B}}(u)$ (exerc. 3 f )). On a sdet($^{st}u$) $=$ sdet($u$).