Bài tập 12, § 1

Cho K là một trường giao hoán. Ký hiệu $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là cơ sở chính tắc của không gian vectơ $V = K^{(\mathbf{N})}$. Ta định nghĩa dãy $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các tự đồng cấu của V bằng cách đặt

$u_0(e_0) = 0u_0(e_1) = 0u_0(e_{n+1}) =e_n$ với $n\geqslant 1$

$u_m(e_0) =e_mu_m(e_n) = 0$ với $m\geqslant 1$ và $n\geqslant 1$.

Cho A là đại số con trên K có đơn vị của End$_K(V)$ sinh bởi dãy $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$. Chứng minh rằng A-môđun trái V là Artin, sinh hữu hạn (thậm chí đơn sinh), nhưng không phải Noether.