Exercice 12, § 1

Soit K un corps commutatif. Notons $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ la base canonique de l’espace vectoriel $V = K^{(\mathbf{N})}$. On définit une suite $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ d’endomorphismes de V en posant :

$u_0(e_0) = 0u_0(e_1) = 0u_0(e_{n+1}) =e_n$ pour $n\geqslant 1$

$u_m(e_0) =e_mu_m(e_n) = 0$ pour $m\geqslant 1$ et $n\geqslant 1$.

Soit A la sous-K-algèbre unifère de End$_K(V)$ engendrée par la suite $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$. Démontrer que le A-module à gauche V est artinien, de type fini (et même monogène), mais n’est pas noethérien.