Bài tập 15, § 1

Cho A là một vành giao hoán và M là một A-môđun hữu hạn sinh.

a) Giả sử rằng với mọi dãy tăng $(\mathfrak{a}_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các iđêan của A, dãy $(\mathfrak{a}_nM)_{n\in\mathbf{N}}$ là dừng. Chứng minh rằng A-môđun M là Noether. (Rút gọn về trường hợp A-môđun M trung thành và với mọi iđêan $\mathfrak{a}\not= 0$ của A, A-môđun $M/\mathfrak{a}M$ là Noether. Khi đó tồn tại một môđun con $N_0$ của M cực đại trong các môđun con $N\subset M$ sao cho $M/N$ trung thành. Chứng minh rằng A-môđun $M/N_0$ là Noether và sau đó vành A là Noether, rồi kết luận.)

b$)^*$Giả sử rằng với mọi dãy giảm $(\mathfrak{a}_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các iđêan của A, dãy $(\mathfrak{a}_nM)_{n\in\mathbf{N}}$ là dừng. Chứng minh rằng A-môđun M là Artin. (Rút gọn về trường hợp A-môđun M trung thành. Chứng minh rằng khi đó A chỉ có hữu hạn iđêan cực đại và, dựa vào chứng minh của Mệnh đề 1 của VIII, p. 173, rằng căn của A là lũy linh. Suy ra tồn tại một dãy hữu hạn $(\mathfrak{m}_1,\mathfrak{m}_2,\cdots ,\mathfrak{m}_n)$ các iđêan cực đại của A mà tích của chúng triệt tiêu M. Kết luận bằng quy nạp theo $n$.)\*