Exercice 15, § 1

Soient A un anneau commutatif et M un A-module de type fini.

a) On suppose que pour toute suite croissante $(\mathfrak{a}_n)_{n\in\mathbf{N}}$ d’idéaux de A la suite $(\mathfrak{a}_nM)_{n\in\mathbf{N}}$ est stationnaire. Démontrer que le A-module M est noethérien. (Se ramener au cas où le A-module M est fidèle et où, pour tout idéal $\mathfrak{a}\not= 0$ de A, le A-module $M/\mathfrak{a}M$ est noethérien ; il existe alors un sous-module $N_0$ de M maximal parmi les sous-modules $N\subset M$ tels que $M/N$ soit fidèle ; prouver que le A-module $M/N$ est noethérien, puis que l’anneau A est noethérien et conclure.)

b$)^*$On suppose que pour toute suite décroissante $(\mathfrak{a}_n)_{n\in\mathbf{N}}$ d’idéaux de A la suite $(\mathfrak{a}_nM)_{n\in\mathbf{N}}$ est stationnaire. Démontrer que le A-module M est artinien. (Se ramener au cas où le A-module M est fidèle ; démontrer qu’alors A n’a qu’un nombre fini d’idéaux maximaux, puis, en s’inspirant de la preuve de la prop. 1 de VIII, p. 169, que le radical de A est nilpotent ; en déduire qu’il existe une suite finie $(\mathfrak{m}_1,\mathfrak{m}_2, . . . ,\mathfrak{m}_n)$ d’idéaux maximaux de A dont le produit annule M ; conclure en raisonnant par récurrence sur $n$.)\*