Bài tập 16, § 1

a) Cho A là một vành giao hoán và $\rho : A\rightarrow B$ là một đồng cấu vành đơn ánh biến B thành một A-môđun trái sinh hữu hạn. Giả sử rằng với mọi dãy tăng (tương ứng, giảm) $(\mathfrak{a}_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các iđêan của A, dãy $(\mathfrak{a}_nB)_{n\in\mathbf{N}}$ là dừng (điều này xảy ra nếu vành B là Noether phải (tương ứng, Artin phải)). Hãy chứng minh rằng vành A là Noether (tương ứng, Artin) (dùng Bài tập 15).

b) Hãy cho một ví dụ về một vành B Artin và Noether trái và phải, và một vành con A của B sao cho B sinh hữu hạn như một A-môđun trái và phải và vành A không là Noether cũng không là Artin, cả trái lẫn phải (chọn một miền nguyên C thích hợp, có trường phân thức K, lấy B là vành ma trận $\mathbf{M}_3(K)$ và A là vành con của B gồm các ma trận $(a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}$ với $a_{ij}= 0$ cho $1\leqslant i < j\leqslant 3$ và $a_{22}\in C.$)