Exercice 16, § 1

a) Soient A un anneau commutatif et $\rho : A\rightarrow B$ un homomorphisme injectif d’anneaux qui fait de B un A-module à gauche de type fini. Supposons que pour toute suite croissante (resp. décroissante) $(\mathfrak{a}_n)_{n\in\mathbf{N}}$ d’idéaux de A, la suite $(\mathfrak{a}_nB)_{n\in\mathbf{N}}$ soit stationnaire (ce qui est le cas si l’anneau B est noethérien (resp. artinien) à droite). Démontrer que l’anneau A est noethérien (resp. artinien) (utiliser l’exerc. 15).

b) Donner un exemple d’anneau B, artinien et noethérien à droite et à gauche, et de sous-anneau A de B tel que B soit de type fini en tant que A-module à droite et à gauche, et que l’anneau A ne soit ni noethérien ni artinien à droite ou à gauche (on pourra choisir un anneau intègre convenable C, de corps des fractions K, prendre pour B l’anneau des matrices $\mathbf{M}_3(K)$ et pour A le sous-anneau de B formé des matrices $(a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}$ telles que $a_{ij}= 0$ pour $1\leqslant i < j\leqslant 3$ et $a_{22}\in C.$)