Bài tập 19, § 1

Cho A là một vành, S là một tập con của A thừa nhận một phép tính phân thức trái trên A (Bài tập 18), và $S'$ là tập con nhỏ nhất của A chứa 1 và S và ổn định đối với phép nhân. Ta ký hiệu bởi $S^{-1}A$ vành các phân thức trái của A liên kết với S và bởi $\varepsilon : A\rightarrow S^{-1}A$ đồng cấu chính tắc.

a) Cho M là một A-môđun. Ta ký hiệu $S^{-1}$ A-môđun $S^{-1}A\otimes_AM$ bởi $S^{-1}M$, và gọi nó là môđun các phân thức trái của M liên kết với S. Chứng minh rằng mọi phần tử của $S^{-1}M$ đều có thể viết dưới dạng $\varepsilon (s)^{-1}\otimes x$ với $x\in M$ và $s\in S'$, và rằng đối với $x, y$ trong M và $s, t$ trong $S'$, quan hệ $\varepsilon (s)^{-1}\otimes x=\varepsilon (t)^{-1}\otimes y$ là tương đương với sự tồn tại của một cặp $(c, d)$ các phần tử của A sao cho ta có $cx=dy$ và $cs=dt\in S'$.

b) Ta ký hiệu bởi $\varepsilon_M$ ánh xạ A-tuyến tính chính tắc $x\mapsto 1\otimes x$ từ M vào $S^{-1}M$. Ảnh của nó sinh ra $S^{-1}$A-môđun $S^{-1}M$; hạt nhân của nó gồm các phần tử $x\in M$ sao cho tồn tại một $s\in S'$ với $sx= 0$. Ánh xạ $\varepsilon_M$ là đơn ánh (tương ứng, song ánh) khi và chỉ khi với mọi $s\in S$, phép vị tự $x\mapsto sx$ của M là đơn ánh (tương ứng, song ánh).

c) Ta có $S^{-1}M = 0$ khi và chỉ khi với mọi $x\in M$, tồn tại một $s\in S$ sao cho $sx= 0$.

d) Cho N là một môđun con của M. Ánh xạ $S^{-1}$A-tuyến tính chính tắc từ $S^{-1}N$ đến $S^{-1}M$ là đơn ánh. $(^*$Nói cách khác, A-môđun phải $S^{-1}A$ là phẳng.$_*)$ Ta đồng nhất $S^{-1}N$ với ảnh của nó trong $S^{-1}M$ dưới ánh xạ này. Môđun con $\varepsilon^{-1}_M(S^{-1}N)$ của M gồm các phần tử $x\in M$ sao cho tồn tại một $s\in S'$ với $sx\in N$. Ta nói rằng đó là bão hòa trái của N đối với S.

e) Ánh xạ $N'\mapsto \varepsilon^{-1}_M(N')$ là một đẳng cấu từ tập hợp có thứ tự các $S^{-1}A$-môđun con của $S^{-1}M$ lên tập hợp có thứ tự các A-môđun con của M bão hòa trái đối với S, (tức là bằng với bão hòa của chúng). Đẳng cấu nghịch đảo là $N\mapsto S^{-1}N$. f ) Nếu A-môđun M là Noether, thì $S^{-1}$A-môđun $S^{-1}M$ là Noether. Nếu A-môđun M là Artin, thì $S^{-1}$A-môđun $S^{-1}M$ là Artin và ánh xạ $\varepsilon_M: M\rightarrow S^{-1}M$ là toàn ánh.

g) Nếu vành A là Noether trái (tương ứng, Artin trái), thì vành $S^{-1}A$ cũng vậy. h) Hãy phát biểu các mệnh đề tương tự với các mệnh đề của bài tập này đối với các môđun phân thức phải của các môđun phải.