Exercice 19, § 1

Soient A un anneau, S une partie de A qui permet un calcul des fractions à gauche sur A (exerc. 18) et $S'$ la plus petite partie de A contenant 1 et S, stable par multiplication. On note $S^{-1}A$ l’anneau des fractions à gauche de A associé à S et $\varepsilon : A\rightarrow S^{-1}A$ l’homomorphisme canonique.

a) Soit M un A-module. On note $S^{-1}M$ le $S^{-1}$A-module $S^{-1}A\otimes_AM$, et on l’appelle le module des fractions à gauche de M associé à S. Démontrer que tout élément de $S^{-1}M$ peut s’écrire $\varepsilon (s)^{-1}\otimes x$ avec $x\in M$ et $s\in S'$, et que, pour $x, y$ dans M et $s, t$ dans $S'$, la relation $\varepsilon (s)^{-1}\otimes x=\varepsilon (t)^{-1}\otimes y$ équivaut à l’existence d’un couple $(c, d)$ d’éléments de A tels que l’on ait $cx=dy$ et $cs=dt\in S'$.

b) On note $\varepsilon_M$ l’application A-linéaire canonique $x\rightarrow 1\otimes x$ de M dans $S^{-1}M$. Son image engendre le $S^{-1}$A-module $S^{-1}M$; son noyau est formé des éléments $x\in M$ tels qu’il existe $s\in S'$ vérifiant $sx= 0$. Pour que l’application $\varepsilon_M$ soit injective (resp. bijective), il faut et il suffit que, pour tout $s\in S$, l’homothétie $x\rightarrow sx$ de M soit injective (resp. bijective).

c) Pour que l’on ait $S^{-1}M = 0$, il faut et il suffit que, pour tout $x\in M$, il existe $s\in S$ tel que $sx= 0$.

d) Soit N un sous-module de M. L’application $S^{-1}$A-linéaire canonique de $S^{-1}N$ dans $S^{-1}M$ est injective. $(^*$Autrement dit, le A module à droite $S^{-1}A$ est plat.$_*)$ On identifiera $S^{-1}N$ à son image dans $S^{-1}M$ par cette application. Le sous-module $\varepsilon^{-1}_M(S^{-1}N)$ de M se compose des éléments $x\in M$ tels qu’il existe $s\in S'$, avec $sx\in N$. On dit que c’est le saturé à gauche de N pour S.

e) L’application $N'\rightarrow \varepsilon^{-1}_M(N')$ est un isomorphisme de l’ensemble ordonné des sous$S^{-1}$A-modules de $S^{-1}M$ sur l’ensemble ordonné des sous-A-modules de M qui sont saturés (i.e. égaux à leur saturé) à gauche pour S. L’isomorphisme réciproque est $N\rightarrow S^{-1}N$.

f ) Si le A-module M est noethérien, le $S^{-1}$A-module $S^{-1}M$ est noethérien. Si le A-module M est artinien, le $S^{-1}$A-module $S^{-1}M$ est artinien et l’application $\varepsilon_M: M\rightarrow S^{-1}M$ est surjective.

g) Si l’anneau A est noethérien (resp. artinien) à gauche, il en est de même de l’anneau $S^{-1}A$.

h) Formuler les énoncés analogues à ceux de cet exercice pour les modules de fractions à droite des modules à droite.