Bài tập 2, § 1

Cho A là một vành, M là một A-môđun có độ dài hữu hạn $n$, và R là một tập hợp các tự đồng cấu lũy linh của M ổn định dưới phép hợp thành.

a) Nếu $n= 1$, thì mọi phần tử của R đều bằng không. Nếu $n >1$, hãy chứng minh rằng tồn tại một môđun con N của M, khác 0 và M, ổn định dưới mọi phần tử của R. (Ta có thể giả sử rằng R có một phần tử $s\not= 0$; chọn một phần tử sao cho $s(M)$ có độ dài nhỏ nhất, và chứng minh rằng ta có $srs= 0$ với mọi $r\in R$. Suy ra rằng ta có thể lấy $N =s(M)$ nếu $Rs=\{0\}$ và $N =\sum_{r\in R}r(s(M))$ nếu $Rs\not=\{0\}.$)[^1]

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một chuỗi Jordan–Hölder $(M_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ của M sao cho ta có $r(M_i)\subset M_{i+1}$ với mọi $r\in R$ và $0\leqslant i\leqslant n-1$. Suy ra rằng ta có $r_1\cdots r_n= 0$ với mọi dãy $(r_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ gồm $n$ phần tử của R.

[^1]: Bản chứng minh này do A. Rosenberg thông báo cho chúng tôi.