Exercice 2, § 1

Soient A un anneau, M un A-module de longueur finie $n$ et R un ensemble d’endomorphismes nilpotents de M, stable par composition.

a) Si $n= 1$, tout élément de R est nul. Si $n >1$, démontrer qu’il existe un sous-module N de M, distinct de 0 et de M, stable par tous les éléments de R. (On peut supposer que R possède un élément $s\not= 0$; en choisir un pour lequel $s(M)$ ait la plus petite longueur possible, et démontrer que l’on a $srs= 0$ pour tout $r\in R$. En déduire que l’on peut prendre $N =s(M)$ si $Rs=\{0\}$, et $N =\sum_{r\in R}r(s(M))$ si $Rs\not=\{0\}.$)[^1]

b) Déduire de a) qu’il existe une suite de Jordan-Hölder $(M_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ de M telle que l’on ait $r(M_i)\subset M_{i+1}$ pour tout $r\in R$ et $0\leqslant i\leqslant n-1$. En déduire que l’on a $r_1. . . r_n= 0$ pour toute suite $(r_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ de $n$ éléments de R.

[^1]: Cette démonstration nous a été communiquée par A. Rosenberg.