Bài tập 21, § 1

Cho A là một vành, $\sigma$ là một tự đồng cấu của vành A, và $d$ là một tự đồng cấu lũy linh của nhóm cộng của A thỏa mãn quan hệ $d(ab) =\sigma (a)d(b) +d(a)b$. a) Chứng minh rằng tập hợp $S =\{X\}$ chấp nhận một phép tính phân thức trái (Bài tập 18) trên vành $B = A[X]_{\sigma ,d}$ (VIII, p. 11). Nếu $\sigma$ là đơn ánh, thì đồng cấu chính tắc từ B vào $S^{-1}B$ là đơn ánh và ta đồng nhất B với một vành con của $S^{-1}B$. Nếu $\sigma$ là song ánh, thì S cũng chấp nhận một phép tính phân thức phải trên B, và mọi phần tử của $S^{-1}B$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $\sum_{n\in\mathbf{Z}}a_nX^n$, trong đó $(a_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ là một họ các phần tử của A có giá hữu hạn. Với $a\in A$, hãy viết phần tử $X^{-1}a$ của $S^{-1}B$ dưới dạng này.

b) Chứng minh rằng phép nhân trong vành $A[X]_{\sigma ,d}$ mở rộng bằng liên tục thành một phép nhân trên tập hợp A[[X]] các chuỗi lũy thừa hình thức theo X với hệ số trong A. Nhóm cộng A[[X]] được trang bị phép nhân này là một vành mà ta ký hiệu bởi $A[[X]]_{\sigma ,d}$ (hoặc đơn giản là $A[[X]]_{\sigma}$ nếu $d= 0$). Hãy cho một ví dụ trong đó một chuỗi lũy thừa hình thức $u\in A[[X]]$ có số hạng hằng bằng 1 lại không có nghịch đảo trái cũng không có nghịch đảo phải trong vành $A[[X]]_{\sigma ,d}$.

c) Chỉ ra rằng các phần tử khả nghịch của $A[[X]]_{\sigma}$ là những phần tử có số hạng hằng khả nghịch trong A.

d) Phát biểu và chứng minh tương tự của a) sau khi thay thế vành $A[X]_{\sigma ,d}$ bằng vành $A[[X]]_{\sigma ,d}$.

e) Giả sử rằng A là một trường và $\sigma$ là một tự đẳng cấu của A. Khi đó $S^{-1}A[[X]]_{\sigma}$ (trong đó $S =\{X\}$) là một trường, và mỗi phần tử của nó có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng $\sum_{n\in\mathbf{Z}}a_nX^n$, trong đó $(a_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ là một họ các phần tử của A chỉ có hữu hạn số hạng khác không với chỉ số $<0$. Ta ký hiệu trường này bởi $A((X))_{\sigma}$.

f ) Giả sử rằng A là một trường giao hoán. Hãy mô tả tâm của trường $A((X))_{\sigma}$. Suy ra một ví dụ về một trường có bậc vô hạn trên tâm của nó.