Exercice 21, § 1

Soient A un anneau, $\sigma$ un endomorphisme de l’anneau A et $d$ un endomorphisme nilpotent du groupe additif de A satisfaisant la relation $d(ab) =\sigma (a)d(b) +d(a)b$.

a) Montrer que l’ensemble $S =\{X\}$ permet un calcul des fractions à gauche (exerc.18) sur l’anneau $B = A[X]_{\sigma ,d}$ (VIII, p. 10). Si $\sigma$ est injectif, l’homomorphisme canonique de B dans $S^{-1}B$ est injectif et on identifie B à un sous-anneau de $S^{-1}B$. Si $\sigma$ est bijectif, S permet aussi un calcul des fractions à droite sur B, et tout élément de $S^{-1}B$ s’écrit de façon unique sous la forme $\sum_{n\in\mathbf{Z}}a_nX^n$, où $(a_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ est une famille à support fini d’éléments de A. Écrire, pour $a\in A$, l’élément $X^{-1}a$ de $S^{-1}B$ sous cette forme.

b) Démontrer que la multiplication de l’anneau $A[X]_{\sigma ,d}$ se prolonge par continuité en une multiplication sur l’ensemble A[[X]] des séries formelles en X à coefficients dans A. Le groupe additif A[[X]], muni de cette multiplication, est un anneau que l’on note $A[[X]]_{\sigma ,d}$ (ou simplement $A[[X]]_{\sigma}$ si $d= 0$). Donner un exemple où une série formelle $u\in A[[X]]$ de terme constant égal à 1 ne possède dans l’anneau $A[[X]]_{\sigma ,d}$ d’inverse ni à droite ni à gauche.

c) Montrer que les éléments inversibles de $A[[X]]_{\sigma}$ sont ceux dont le terme constant est inversible dans A.

d) Formuler et démontrer l’analogue de a) en remplaçant l’anneau $A[X]_{\sigma ,d}$ par l’anneau $A[[X]]_{\sigma ,d}$.

e) On suppose que A est un corps et $\sigma$ un automorphisme de A. Alors $S^{-1}A[[X]]_{\sigma}$ (où $S =\{X\}$) est un corps, dont tout élément s’écrit de façon unique $\sum_{n\in\mathbf{Z}}a_nX^n$, où $(a_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ est une famille d’éléments de A n’ayant qu’un nombre fini de termes d’indice $<0$ non nuls. On note ce corps $A((X))_{\sigma}$.

f ) On suppose que A est un corps commutatif. Décrire le centre du corps $A((X))_{\sigma}$. En déduire un exemple de corps de degré infini sur son centre.