Bài tập 23, § 1

Cho A là một vành, I là một tập hợp, $\boldsymbol{\sigma }= (\sigma_i)_{i\in I}$ là một họ các tự đồng cấu của vành A, và $\boldsymbol{d}= (d_i)_{i\in I}$ là một họ các tự đồng cấu của nhóm cộng của A, thỏa mãn các hệ thức

với $i\in I,j\in I,i\not=j$ và

với $i\in I,a\in A,b\in A$. a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một vành B có nhóm cộng là nhóm cộng $A[\mathbf{X}]$ của các đa thức với hệ số trong A theo họ biến $\mathbf{X}= (X_i)_{i\in I}$ và tích của nó thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Các phần tử $X_i(i\in I)$ của B đôi một giao hoán.

(ii) Với mọi $a\in A$ và mọi đa chỉ số $\boldsymbol{\nu }= (\nu_i)_{i\in I}\in \mathbf{N}^{(I)}$, tích trong B, theo đúng thứ tự này, của $a$ và một dãy hữu hạn gồm $\nu_i$ phần tử bằng $X_i$ đối với mỗi $i\in I$ là đa thức $a\mathbf{X}^{\boldsymbol{\nu }}$.

(iii) Với mọi $a\in A$ và mọi $i\in I$, ta có quan hệ $X_ia=\sigma_i(a)X_i+d_i(a)$ trong vành B.

b) Vành B được ký hiệu bởi $A[\mathbf{X}]_{\boldsymbol{\sigma },\mathbf{d}}$. Nó có tính chất phổ quát sau: cho một vành C, một đồng cấu vành $f: A\rightarrow C$, và một họ $(x_i)_{i\in I}$ các phần tử của C từng đôi một giao hoán sao cho $x_if(a) =f(\sigma_i(a))x_i+f(d_i(a))$ với mọi $a\in A$ và mọi $i\in I$, thì tồn tại một đồng cấu vành duy nhất $g: B\rightarrow C$ mở rộng $f$ sao cho $g(X_i) =x_i$ với $i\in I$.

c) Cho J là một tập con của I. Ký hiệu vành $A[(X_i)_{i\in J}]_{(\sigma_i)_{i\in J},(d_i)_{i\in J}}$ là $B'$. Với mọi $i\in I$- J, tồn tại một tự đồng cấu duy nhất $\sigma_i'$ của vành $B'$ và một tự đồng cấu duy nhất $d'_i$ của nhóm cộng của $B'$ sao cho

$\sigma_i'(a) =\sigma_i(a)d'_i(a) =d_i(a)$ với $a\in A$,

$\sigma_i'(X_j) = X_jd'_i(X_j) = 0$ với $j\in J$,

$d'_i$(PQ) $=\sigma '_i(P)d'_i(Q) +d'_i(P)Q$ với $P\in B,Q\in B$.

Đặt $\boldsymbol{\sigma }'= (\sigma_i')_{i\in I-J}$ và $\boldsymbol{d}'= (d'_i)_{i\in I-J}$. Song ánh chính tắc từ $A[(X_i)_{i\in I}]$ đến $A[(X_j)_{j\in J}][(X_i)_{i\in I-J}]$ là một đẳng cấu từ vành $B = A[(X_i)_{i\in I}]_{\boldsymbol{\sigma },\boldsymbol{d}}$ đến vành $B'[(X_i)_{i\in I-J}]_{\boldsymbol{\sigma }',\boldsymbol{d}'}$.

d) Nếu vành A là Noether trái, thì tập I là hữu hạn, và nếu với mọi $i\in I$, tự đồng cấu $\sigma_i$ của A là song ánh, thì vành $B = A[\mathbf{X}]_{\boldsymbol{\sigma },\boldsymbol{d}}$ là Noether trái. e) Giả sử rằng với mọi $i\in I$, cấu xạ $\sigma_i$ là ánh xạ đồng nhất trên A. Cho E là vành tự đồng cấu của nhóm cộng của A. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu vành $\psi$ từ $B = A[\mathbf{X}]_{\boldsymbol{\sigma },\boldsymbol{d}}$ đến E sao cho $\psi (X_i) =d_i$ với $i\in I$ và rằng với mọi $a\in A$, cấu xạ $\psi (a)$ là phép vị tự trái $b\mapsto ab$ của A. f ) Giữ các giả thiết của e). Hơn nữa, giả sử rằng A là một vành đa thức $C[(T_i)_{i\in I}]$ với hệ số trong một vành C (không nhất thiết giao hoán) và rằng với mọi $i\in I$, cấu xạ $d_i$ là đạo hàm $P\mapsto\frac{\partial P}{\partial T_i}$ của A. Chứng minh rằng nếu C khác không và không xoắn trên $\mathbf{Z}$, đồng cấu $\psi : B\rightarrow E$ là đơn ánh. Chứng minh rằng nếu C là một vành có đặc số $p >0$ (V, §1, No. 2, p. 2), hạt nhân của $\psi$ là iđêan trái của B sinh bởi phần tử $X^p_i(i\in I)$.