Exercice 23, § 1

Soient A un anneau, I un ensemble, $\boldsymbol{\sigma }= (\sigma_i)_{i\in I}$ une famille d’endomorphismes de l’anneau A et $\boldsymbol{d}= (d_i)_{i\in I}$ une famille d’endomorphismes du groupe additif de A, satisfaisant les relations

pour $i\in I,j\in I,i\not=j$ et

pour $i\in I,a\in A,b\in A$.

a) Prouver qu’il existe un unique anneau B dont le groupe additif est le groupe additif $A[\mathbf{X}]$ des polynômes à coefficients dans A en la famille d’indéterminées $\mathbf{X} = (X_i)_{i\in I}$, et dont le produit satisfait aux conditions suivantes :

(i) Les éléments $X_i(i\in I)$ de B sont deux à deux permutables ;

(ii) Pour tout $a\in A$ et tout multiindice $\boldsymbol{\nu }= (\nu_i)_{i\in I}\in \mathbf{N}^{(I)}$, le produit dans B, dans cet ordre, de $a$ par une suite finie formée de $\nu_i$ éléments égaux à $X_i$ pour tout $i\in I$, est le polynôme $a\mathbf{X}^{\boldsymbol{\nu }}$;

(iii) Pour tout $a\in A$ et tout $i\in I$, on a dans l’anneau B la relation $X_ia=\sigma_i(a)X_i+$ $d_i(a)$.

b) L’anneau B est noté $A[\mathbf{X}]_{\boldsymbol{\sigma },\mathbf{d}}$. Il possède la propriété universelle suivante : étant donnés un anneau C, un homomorphisme d’anneaux $f: A\rightarrow C$ et une famille $(x_i)_{i\in I}$ d’éléments de C deux à deux permutables tels que $x_if(a) =f(\sigma_i(a))x_i+f(d_i(a))$ pour tout $a\in A$ et tout $i\in I$, il existe un unique homomorphisme d’anneaux $g: B\rightarrow C$ prolongeant $f$ tel que $g(X_i) =x_i$ pour $i\in I$.

c) Soit J une partie de I. Notons $B'$ l’anneau $A[(X_i)_{i\in J}]_{(\sigma_i)_{i\in J},(d_i)_{i\in J}}$. Pour tout $i\in I-J$, il existe un unique endomorphisme $\sigma_i'$ de l’anneau $B'$ et un unique endomorphisme $d'_i$ du groupe additif de $B'$ tel que :

$\sigma_i'(a) =\sigma_i(a)d'_i(a) =d_i(a)$ pour $a\in A$,

$\sigma_i'(X_j) = X_jd'_i(X_j) = 0$ pour $j\in J$,

$d'_i$(PQ) $=\sigma '_i(P)d'_i(Q) +d'_i(P)Q$ pour $P\in B,Q\in B$.

Posons $\boldsymbol{\sigma }'= (\sigma '_i)_{i\in I-J}$ et $\boldsymbol{d}'= (d'_i)_{i\in I-J}$. La bijection canonique de $A[(X_i)_{i\in I}]$ sur $A[(X_j)_{j\in J}][(X_i)_{i\in I-J}]$ est un isomorphisme de l’anneau $B = A[(X_i)_{i\in I}]_{\boldsymbol{\sigma },\boldsymbol{d}}$ sur l’anneau $B'[(X_i)_{i\in I-J}]_{\boldsymbol{\sigma }',\boldsymbol{d}'}$.

d) Si l’anneau A est noethérien à gauche, que l’ensemble I est fini et que, pour tout $i\in I$, l’endomorphisme $\sigma_i$ de A est bijectif, l’anneau $B = A[\mathbf{X}]_{\boldsymbol{\sigma },\boldsymbol{d}}$ est noethérien à gauche.

e) Supposons que, pour tout $i\in I,\sigma_i$ soit l’application identique de A. Notons E l’anneau des endomorphismes du groupe additif de A. Montrer qu’il existe un unique homomorphisme d’anneaux $\psi$ de $B = A[\mathbf{X}]_{\boldsymbol{\sigma },\boldsymbol{d}}$ dans E tel que $\psi (X_i) =d_i$ pour $i\in I$ et que, pour tout $a\in A,\psi (a)$ soit l’homothétie à gauche $b\rightarrow ab$ de A.

f ) Conservons les hypothèses de e). Supposons de plus que A soit un anneau de polynômes $C[(T_i)_{i\in I}]$ à coefficients dans un anneau C (non nécessairement commutatif), et que, pour tout $i\in I,d_i$ soit la dérivation $P\rightarrow\frac{\partial P}{\partial T_i}$ de A. Démontrer que, si C est non nul et sans torsion sur $\mathbf{Z}$, l’homomorphisme $\psi : B\rightarrow E$ est injectif. Démontrer que, si C est un anneau de caractéristique $p >0$ (V, p. 2), le noyau de $\psi$ est l’idéal à gauche de B engendré par les éléments $X^p_i(i\in I)$.