Bài tập 27, § 1

Cho D là một trường, $\sigma$ một tự đẳng cấu của $D,d$ một tự đồng cấu của nhóm cộng của D thỏa mãn quan hệ (1) của VIII, p. 9, và A là vành $D[X]_{\sigma ,d}$ (VIII, p. 11). Cho một phần tử khác không $P =\sum_na_nX^n$ của A, số nguyên lớn nhất $n$ sao cho $a_n\not= 0$ được gọi là bậc của P và ký hiệu là deg(P). Ta đặt deg(0) $=-\infty$.

a) Hãy cho $F,G$ là các phần tử của A với $G\not= 0$; hãy chứng minh rằng tồn tại duy nhất các phần tử $Q,R$ (tương ứng $Q',R'$) của A sao cho F = QG + R và deg(R) $<$ deg(G) (tương ứng F = GQ$'+ R'$ và deg(R$'$)$<$ deg(G)). b) Suy ra rằng mọi iđêan trái (tương ứng phải) của A đều đơn sinh. Nếu $F,G,H,K$ là các phần tử của A thỏa mãn AF + AG = AH và AF $\cap$ AG = AK, thì ta có deg(F) + deg(G) = deg(H) + deg(K) (chú ý rằng không gian vectơ trên D $A/$AF có chiều deg(F)).

c) Iđêan AF của A là cực đại khi và chỉ khi F là bất khả quy, tức là không phải là tích của hai đa thức không hằng.