Exercice 27, § 1

Soient D un corps, $\sigma$ un automorphisme de $D,d$ un endomorphisme du groupe additif de D satisfaisant à la relation (1) de VIII, p. 9, A l’anneau $D[X]_{\sigma ,d}$ (VIII, p. 10). Étant donné un élément non nul $P =\sum_na_nX^n$ de A, le plus grand entier $n$ tel que $a_n\not= 0$ est appelé le degré de P et noté deg(P). On pose deg(0) $=-\infty$.

a) Soient $F,G$ des éléments de A, avec $G\not= 0$; montrer qu’il existe des éléments bien déterminés $Q,R$ (resp. $Q',R'$) de A tel que F = QG + R et deg(R) $<$ deg(G) (resp. F = GQ$'+ R'$ et deg(R$'$)$<$ deg(G)).

b) En déduire que tout idéal à gauche (resp. à droite) de A est monogène. Si $F,G,H,K$ sont des éléments de A satisfaisant à AF + AG = AH et AF $\cap$ AG = AK, on a deg(F) + deg(G) = deg(H) + deg(K) (observer que le D-espace vectoriel $A/$AF est de dimension deg(F)).

c) Pour que l’idéal AF de A soit maximal, il faut et il suffit que F soit irréductible, c’est-à-dire ne soit pas le produit de deux polynômes non constants.