Bài tập 28, § 1

Cho B là một vành, A là một vành con của B, và $x$ là một phần tử của B sao cho ta có $A + Ax= A +xA$ và vành B được sinh bởi $A\cup \{x\}$.

a) Cho M là một A-môđun trái Noether; chứng minh rằng B-môđun $M_{(B)}= B\otimes_AM$ là Noether. Đặc biệt, nếu vành A là Noether trái thì B cũng vậy.

b) Giả sử A-môđun M có độ dài hữu hạn $n$; chứng minh rằng mọi B-môđun con của $M_{(B)}$ đều có một tập con sinh có lực lượng $\leqslant n$ (điều chỉnh chứng minh Định lý 1 của VIII, p. 6).