Exercice 28, § 1

Soient B un anneau, A un sous-anneau de $B,x$ un élément de B tel qu’on ait $A + Ax=$ $A +xA$, et que l’anneau B soit engendré par $A\cup \{x\}$.

a) Soit M un A-module à gauche noethérien ; prouver que le B-module $M_{(B)}= B\otimes_AM$ est noethérien. En particulier, si l’anneau A est noethérien à gauche, il en est de même de B.

b) On suppose que le A-module M est de longueur finie $n$; prouver que tout sous-B-module de $M_{(B)}$ possède une partie génératrice de cardinal $\leqslant n$ (adapter la démonstration du th. 1).