Bài tập 3, § 1

(a) Cho một ví dụ về một trường giao hoán K và một đẳng cấu $\varphi$ từ K vào một trường con $K'$ của nó sao cho K là hữu hạn chiều trên $K'$. Trên nhóm cộng $A = K\times K$, ta định nghĩa một cấu trúc vành bằng cách đặt $(x, y)(x', y') = (xx', xy'+y\varphi (x'))$ (II, §1, p. 382, Bài tập 7). Các iđêan trái duy nhất của A là $\{(0,0)\},\{0\} \times K$, và A, nhưng với mọi không gian con tuyến tính trên $K'$ E của $K,\{0\} \times E$ là một iđêan phải của A. Suy ra rằng A là Artin trái và Noether trái nhưng không Artin phải cũng không Noether phải. (b) Cho một ví dụ về một môđun có độ dài hữu hạn mà vành các tự đồng cấu của nó không Artin trái cũng không Noether trái.

(c) Sử dụng cùng phương pháp như trong (a), cho một ví dụ về một vành Artin trái và phải có độ dài trái khác với độ dài phải.