Exercice 3, § 1

a) Donner un exemple de corps commutatif K et d’isomorphisme $\varphi$ de K sur l’un de ses sous-corps $K'$, tel que K soit de dimension infinie sur $K'$. On définit sur le groupe additif $A = K\times K$ une structure d’anneau en posant $(x, y)(x', y') = (xx', xy'+y\varphi (x'))$ (II, p. 179, exerc. 7). Les seuls idéaux à gauche de A sont $\{(0,0)\},\{0\} \times K$ et A, mais, pour tout sous-K$'$-espace vectoriel E de $K,\{0\} \times E$ est un idéal à droite de A. En déduire que A est artinien et noethérien à gauche, mais ni artinien ni noethérien à droite.

b) Donner un exemple de module de longueur finie dont l’anneau d’endomorphismes n’est ni artinien ni noethérien à gauche.

c) A l’aide de la même méthode qu’en a), donner un exemple d’anneau artinien à gauche et à droite, dont la longueur à gauche est distincte de la longueur à droite.