Bài tập 6, § 1

Cho A là một vành và $e$ là một lũy đẳng trong A.

a) Cho $\mathfrak{a}_1$ là một iđêan trái của vành $eAe$ và $\mathfrak{a}$ là iđêan trái của A sinh bởi $\mathfrak{a}_1$. Ta có $\mathfrak{a}_1=e\mathfrak{a}e=\mathfrak{a}\cap eAe$.

b) Với mọi iđêan trái $\mathfrak{a}$ của A, ta có $\mathfrak{a}\cap eAe\subset e\mathfrak{a}e$; hãy cho một ví dụ sao cho đây là một bao hàm ngặt (lấy một vành ma trận làm A).

c) Ta có $\mathfrak{a}\cap eAe=e\mathfrak{a}e$ với mọi iđêan hai phía $\mathfrak{a}$ của A.

d) Nếu vành A là Artin trái (tương ứng Noether trái), thì các vành $eAe$ và $(1-e)A(1-e)$ cũng vậy.

e) Hãy cho một ví dụ sao cho $eAe$ và $(1-e)A(1-e)$ là các trường giao hoán và sao cho A thừa nhận các dãy tăng ngặt vô hạn và các dãy giảm nghiêm ngặt vô hạn của các iđêan hai phía. (Chọn một không gian vectơ vô hạn chiều V trên một trường giao hoán K, trang bị cho nhóm cộng $A = K\times V\times K$ cấu trúc vành được xác định bởi $(\lambda , x, \mu)(\lambda ', x', \mu') = (\lambda \lambda ', \lambda x'+\mu'x, \mu\mu')$, và đặt $e= (1,0,0).$)